在竖直方向上做简谐运动的弹簧振子,当它处于平衡位置时,在上面放一个小物体m,则它的振幅变化 ,在原平衡位置的动能变化

题目

在竖直方向上做简谐运动的弹簧振子,当它处于平衡位置时,在上面放一个小物体m,则它的振幅变化 ,在原平衡位置的动能变化

答案

设原来弹簧振子的质量为M,振子平衡位置速度为V ,弹簧的进度系数为K
建立一个竖直坐标系,向下位正方向,以原来平衡位置为原点.那么显然新的平衡位置为 mg/K.当放上m时,显然是完全非弹性碰撞,根据碰撞过称动量守恒可求得碰撞后的速度为 V' = MV/(m + M) ,新振子在元平衡位置的动能为 E' = 0.5(m+M)*V'^2 = 0.5（MV）^2/(M+m) = 0.5M*V^2 * M/(M + m ) ,显然是小于原来在此处的动能的.至于变化了多少,一减就行了.
关于振幅,刚才想错了,修改如下
如果此时新振子是向下运动的,设最多可以下降到x的地方静止,那么有 0.5Kx^2 = E' + （M+m）gx ,将E'带入,解方程可求得x ,所以新振子的振幅为 A' = x - mg/k 原来振子的振幅为 A = sqr（MV^2/K）.振幅变化量就等于A - A'
或者从能量的角度振幅,新振子相对新平衡位置的总能量为 E' + (M+m)g*mg/K = 0.5（MV）^2/(M+m) + (M+m)g*mg/K ,原来振子的总能量为 0.5MV^2 .可以用能量来表示振幅,如果有具体数据,就能求振幅的变化量了.