已知A, B, C为△ABC三内角, 向量a=(cos(A-B)/2,根号3sin(A+B)/2),|a|=根号2如果当C

题目

已知A, B, C为△ABC三内角, 向量a=(cos(A-B)/2,根号3sin(A+B)/2),|a|=根号2如果当C
最大时,存在动点M,使得|MA|,|AB|,|MB|成等差数列,则|MC|/|AB|最大值为

答案

a^2=[cos(A-B)/2]^2+[√3sin(A+B)/2]^2
=(1/2)[1+cos(A-B)+3-3cos(A+B)]=2,
∴0=cos(A-B)-3cos(A+B)=cos(A-B)+3cosC,
当C最大时A=B,cosC=-1/3,
|MA|,|AB|,|MB|成等差数列,
<==>|MA|+|MB|=2|AB|,
<==>M的轨迹是以A,B为焦点、2|AB|为长轴的椭圆.
比值与单位的选择无关,所以设|AB|=2,AB的中点为O,由A=B点|AC|=|BC|=p,
由余弦定理,2p^2(1+1/3)=4,p^2=3/2,
∴|OC|=√(p^2-1)=1/√2,
直观判断,当M是上述椭圆的短轴端点（与点C在AB的两侧）,
这时|OM|=√3（如果要论证,需建立坐标系）,
|MC|/|AB|最大值为（1/√2+√3）/2=（√2+2√3）/4.