设随机变量X的密度函数f(x)是连续函数,其分布函数为F(x),则2f(x)F(x)是一个概率密度函数吗?求证明

题目

答案

是.概率密度函数要求非负,积分为1.
因为f(x)非负,F(x)非负,所以2f(x)F(x)非负.
∫ 2f(x)F(x)dx=∫ 2F(x) dF(x)=F(x)^2.因为F(x) 在负无穷时是0,正无穷时是1,所以F(x)^2的积分值也是1.所以2f(x)F(x)是概率密度函数.

举一反三

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

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