导温系数很大的物体,放在太空中,周围环境认为0K.体积V,表面积A,比热容C,初始温度T,表面发射率ε,求t时刻的温度变化率,及温度

题目

导温系数很大的物体,放在太空中,周围环境认为0K.体积V,表面积A,比热容C,初始温度T,表面发射率ε,求t时刻的温度变化率,及温度

答案

此题在传热习题中算是涉及高数知识很多的题了,如果下面的过程有不熟悉的部分赶快去复习高数.
1.首先明确一个概念“抛出瞬间其散热Q0”,说明了这个散热是一个关于热量的微分dQ,等式另一端是关于时间的微分dτ.于是先列实际辐射热的辐射力关系式：
E=εσ(T)^4 σ是波尔兹曼常数
根据辐射力E的定义,可知：
E=1/A*dQ/dτ
联立可得：
dQ=εσA*T^4 dτ (a)
则把抛出的初始状态T0代入(a)式得：
dQ0=εσA*(T0)^4 dτ
2.根据能量守恒定律,可知小球对外散热,能量减少,表现在小球整体的温度下降,因为假设小球“金属体导热系数极大”,则认为其Bi→0,小球整体的平均温度与表面温度相同,故有：
dQ=cρV dT (b)
联立(a)(b)得：
dT/dτ=(εσA/cρV)*T^4 (c)
3.解(c)式的微分方程,设常数k=εσA/cρV,则(c)式变为：
dT/T^4=k*dτ
-1/(3T³)=kτ+C
再将初始条件τ=0,T=T0代入,得
T=T0*[1-3k(T0)³τ]^(-1/3) 其中k=εσA/cρV
解毕