在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a/3cosA＝c/sinC， （1）求A的大小； （2）若a=6，求△ABC的周长的取值范围．

题目

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知

a

3 cosA

＝

c

sinC

，
（1）求A的大小；
（2）若a=6，求△ABC的周长的取值范围．

答案

（Ⅰ）由条件结合正弦定理得，a3cosA＝csinC＝asinA，从而sinA＝3cosA，tanA＝3，∵0＜A＜π，∴A＝π3．（Ⅱ）由已知：b＞0，c＞0，b+c＞a=6．由余弦定理得：a2=36＝b2+c2−2bccosπ3＝(b+c)2−3bc≥(b+c)2−34(b+c...

（Ⅰ）由条件结合正弦定理得，

a

3 cosA

＝

c

sinC

＝

a

sinA

，求得tanA＝

3

，可得A的值．
（Ⅱ）由三角形任意两边之和大于第三边可得b+c＞a=6．再由余弦定理利用基本不等式求得 （b+c）²≤
4×36，从而△ABC的周长的取值范围．

本题考点：正弦定理；余弦定理．

考点点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．