在抛物线y2=4x上求一点P,使得点P到直线y=x+3的距离最短.

在抛物线y2=4x上求一点P,使得点P到直线y=x+3的距离最短.

题目
在抛物线y2=4x上求一点P,使得点P到直线y=x+3的距离最短.
答案
该命题可转化为求一条平行于y=x+3的直线y=x+b与抛物线y2=4x相切,
求出切点,此时点P到直线y=x+3的距离最短,
联立方程
y=x+b
y2=4x

得x2+(2b-4)x+b2=0
令△=0,即(2b-4)2-4b2=0,∴b=1
故x=1,y=2,P为(1,2)
∴抛物线y2=4x上一点P(1,2),使得点P到直线y=x+3的距离最短.
先设出与直线平行且与抛物线相切的直线y=x+b,与抛物线联立消去x,根据判别式等于0求得b,则切线方程可得,进而与抛物线方程联立求得切点的坐标,进而根据点到直线的距离求得答案.

点到直线的距离公式.

本题主要考查了抛物线的应用.考查了学生数形结合和转化与化归的思想.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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