k为何值时,多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积?
题目
k为何值时,多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积?
答案
∵x
2+3x+2=(x+1)(x+2),
故可令x
2-2xy+ky
2+3x-5y+2=(x+my+1)(x+ny+2),
即x
2+(m+n)xy+mny
2+3x+(2m+n)y+2=x
2-2xy+ky
2+3x-5y+2,
∴
,
由①③可得:
,
∴k=mn=-3.
∴当k=-3时,多项式x
2-2xy+ky
2+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积.
首先由x
2+3x+2=(x+1)(x+2),可设多项式x
2-2xy+ky
2+3x-5y+2=(x+my+1)(x+ny+2),然后根据多项式乘以多项式的运算法则求得(x+my+1)(x+ny+2)的值,又由多项式相等时对应项的系数相等,可得方程组
,解此方程组即可求得k的值.
余式定理.
此题考查了多项式因式分解的知识,多项式的乘法以及三元一次方程组的求解方法.此题难度较大,解题的关键是设多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2=(x+my+1)(x+ny+2),再由多项式的性质求解.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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