证明曲线 xy=1(x>0,y>0)上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是一常数.

题目

证明曲线 xy=1(x>0,y>0)上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是一常数.

答案

设切线为x/a+y/b=1,其中a>0,b>0
联立方程xy=1和x/a+y/b=1,得bx^2-abx+a=0
由于是相切,故此二次方程只有唯一解,判别式为0
即（ab）^2-4ab=0
即（ab-4)ab=0
所以ab=4
即三角形面积是2