若a、b、x、y均为正实数,并且x+y=1,求证:ab≤(ax+by)(ay+bx)≤(a+b)24.

若a、b、x、y均为正实数,并且x+y=1,求证:ab≤(ax+by)(ay+bx)≤(a+b)24.

题目
若a、b、x、y均为正实数,并且x+y=1,求证:ab≤(ax+by)(ay+bx)≤
(a+b)
答案
证明:∵(ax+by)(ay+bx)-ab=a2xy+b2xy+abx2+aby2-ab
=xy(a2+b2)+ab(x2+y2-1)
=xy(a2+b2)+ab[(x+y)2-2xy-1].
∵a、b、x、y均为正实数,x+y=1,
∴(ax+by)(ay+bx)-ab
=xy(a2+b2)-2abxy
=xy(a-b)2≥0,
∴ab≤(ax+by)(ay+bx).
又(ax+by)(ay+bx)≤[
(ax+by)+(ay+bx)
2
]
2
=[
a(x+y)+b(x+y)
2
]
2
=(
a+b
2
)
2
=
(a+b)2
4

∴ab≤(ax+by)(ay+bx)≤
(a+b)2
4
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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