已知函数f(x)=kx^3-3(k+1)x^2-k^2+1(k>0),若f(x)的单调递减区间是(0,4).

题目

已知函数f(x)=kx^3-3(k+1)x^2-k^2+1(k>0),若f(x)的单调递减区间是(0,4).
(1)求k的值
（2）当x>k时,用导数方法求证：x^3>2-x

答案

(1)容易求出 f'(x)=3kx^2-6(k+1)x.因为 f(x) 的单调减区间为 (0,4),所以 0 和 4 均为 f(x) 的极值点,也就是 f'(x) 的零点.即 f'(0)=f'(4)=0.由 f'(4) = 48k-24(k+1) = 0 即可求得 k=1.
(2)要证 x>1 时,x^3>2-x.
记函数 g(x) = x^3+x-2.则 g'(x)=3x^2+1.显然 g'(x)>0 对任意x成立,特别地,对 x>1 也成立.因此函数 g(x) 在 x>1 时是增函数,从而 g(x)>g(1)=0,即 x>1 时有 x^3+x-2>0,即 x^2>2-x.