已知关于x的一元二次方程x2-2(m-1)x-m(m+2)=0. (1)若x=-2是这个方程的一个根,求m的值和方程的另一个根; (2)求证:对于任意实数m,这个方程都有两个不相等的实数根.
题目
已知关于x的一元二次方程x2-2(m-1)x-m(m+2)=0.
(1)若x=-2是这个方程的一个根,求m的值和方程的另一个根;
(2)求证:对于任意实数m,这个方程都有两个不相等的实数根.
答案
(1)把x=-2代入方程,得4-2(m-1)•(-2)-m(m+2)=0.
即m2-2m=0.
解得m1=0,m2=2.
当m=0时,原方程为x2+2x=0.
则方程的另一个根为x=0.
当m=2时,原方程为x2-2x-8=0,则方程的另一个根为x=4.
(2)证明:△=[-2(m-1)]2-4×[-m(m+2)]=8m2+4.
∵对于任意实数m,m2≥0.
∴8m2+4>0.
∴对于任意实数m,这个方程都有两个不相等的实数根.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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