如图,BC为圆O的直径,AD垂直于BC于D,P是弧AC上一动点,连接PB分别交AD,AC于点E,F

题目

如图,BC为圆O的直径,AD垂直于BC于D,P是弧AC上一动点,连接PB分别交AD,AC于点E,F
（1）当弧AB=弧PA时,求证：AE=EB
（2）当点P在什么位置时,AF＝EF?证明你的结论.

答案

证明：(1)连AB,AP,PC.
因为弧AB=弧AP  ∴∠ACB=∠ABP(等弧所对圆周角相等)
又因为BC是圆O的直径,∴∠BAC=90°
AD⊥BC于D,∴∠BAD=∠ACB(同为∠ABC的余角)
∴∠ABP=∠BAD  ∴AE=EB
(2)当P点使弧PC=弧AB时,AF=EF.
证明：当P点使弧PC=弧AB时,ABCP是等腰梯形,
∴∠ABC=∠PCB
∠ABC=∠CAD(同为∠ACD的余角)
∠AEF=∠BED
∠BED=∠PCB(同为∠PBC的余角)
∴∠CAD=∠AEF
∴AF=EF