求secθ³的不定积分(请写过程)
题目
求secθ³的不定积分(请写过程)
答案
∫ sec³xdx
=∫ secxd(tanx)
=secxtanx-∫ tan²xsecxdx
=secxtanx-∫ (sec²x-1)secxdx
=secxtanx-∫ sec³xdx+∫secxdx
=secxtanx-∫ sec³xdx+ln|secx+tanx|
将-∫ sec³xdx移动等式左边与左边合并,除去系数(别忘记要留常数C在右边)
∫ sec³xdx=(1/2)secxtanx+(1/2)ln|secx+tanx|+C
参考:
∫ sec³x dx = ∫ secx*sec²x dx
= ∫ secx dtanx,分部积分法,sec²x的积分是tanx
= secx*tanx - ∫ tanx dsecx,分部积分法
= secx*tanx - ∫ tanx*(secx*tanx) dx,secx的导数是secx*tanx
= secx*tanx - ∫ secx(sec²x-1) dx,恒等式1+tan²x = sec²x
= secx*tanx - ∫ sec³x dx + ∫ secx dx,将∫sec³x dx移到等号左边,变为2个∫ sec³x dx
2∫sec³x dx = secx*tanx + ∫ secx*(secx+tanx)/(secx+tanx) dx,上下分别乘以secx+tanx
∫ sec³x dx = (1/2)secx*tanx + (1/2)∫ (secx*tanx+sec²x)/(secx+tanx) dx
= (1/2)secx*tanx + (1/2)∫ d(secx+tanx)/(secx+tanx),等同公式∫ 1/u du,u=secx+tanx
∴∫ sec³x dx = (1/2)secx*tanx + (1/2)ln|secx+tanx| + C
递推公式:
∫ (secx)^n dx
= [sinx*(secx)^(n-1)]/(n-1) + (n-2)/(n-1)*∫ (secx)^(n-2) dx
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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