通过导数求切线的问题

题目

通过导数求切线的问题
设函数y=f(x)过点P（x,f(x))的切线,要分两种情况,一是该点是切点,二是该点不是切点,所以答案可能有两个.
我的问题是切线不就是和y=f(x)的图像只有一个交点吗?既然点P（x,f(x))在y=f（x)上,那么P不就是切点吗?如果不是切点的话,所求切线不就是和y=f(x)的图像不止一个交点了吗?

答案

求函数y=f(x)过点P（x0,f(x0))的切线,
若y=f(x)在点P可导,则f’(x0)存在,切线的斜率存在,切线当然存在.P是切点.
若y=f(x)在点P当Δx→0,则Δy/Δx→∞,切线的斜率不存在,但切线存在.P是切点.
其他情况P不是切点.
切线不就是和y=f(x)的图像只有一个交点吗?
这句话现在应改成:
切线不就是和y=f(x)的图像在点P的附近只有一个交点吗?
不然的话,y=x^3-x在x=√3/3处的切线与y=x^3-x有两个交点.
正确的说法是函数y=f(x)图象与它的切线在切点附近只有一个交点;与切线在定义域上至少有一个交点.