实数a 、 b 、 c , 若a²+b²=1 、 b²+c²=2、 a²+c²=2 求 ab+bc+ac的最小值

题目

实数a 、 b 、 c , 若a²+b²=1 、 b²+c²=2、 a²+c²=2 求 ab+bc+ac的最小值

答案

∵a²+b²=1 、 b²+c²=2、 a²+c²=2
∴2b²=1∴b²=1/2∴b=√1/2或b=-√1/2
∵2a²=1/2∴a²=1/2∴a=√1/2或a=-√1/2
∵2c²=3∴c²=3/2∴c=√3/2或c=-√3/2
当a、b、c符号相同时：
ab+bc+ac=√1/2*√1/2+√3/2*√1/2+√3/2*√1/2=1/2+1/2*√3+1/2*√3=1/2+√3
当a、b、c符号不同时：
若a＜0,b＞0,c＞0则ab+bc+ac==（-√1/2）*√1/2+√3/2*√1/2+√3/2*（-√1/2）=-1/2+1/2*√3/-1/2*√3=-1/2
若a＜0,b＜0,c＞0则ab+bc+ac==（-√1/2）*（-√1/2）+√3/2（-√1/2）+√3/2*（-√1/2）=1/2-1/2*√3-1/2*√3=1/2-√3
若a＞0,b＞0,c＜0则ab+bc+ac==（√1/2）*（√1/2）+（-√3/2）（√1/2）+（-√3/2）*（√1/2）=1/2-1/2*√3-1/2*√3=1/2-√3