三棱锥的底面是底边长12,腰长10的等腰三角形,它的侧面与底面都成45度的二面角,求这个棱锥的高?

题目

三棱锥的底面是底边长12,腰长10的等腰三角形,它的侧面与底面都成45度的二面角,求这个棱锥的高?
侧面与底面成45度角,说明了什么?

答案

从三棱锥顶点P向底边做垂线,交底面于点O,过点O向底面三角形的腰做垂线,交于点M.则角PMO就是三棱锥一个侧面与底边形成的二面角.
“侧面与底面成45度角”说明三角形POM是等腰直角三角形,因此PO＝OM,即使说三棱锥的高等于OM的长度.
同理,通过点O向底面的底边作垂线交于点N,得到PO＝ON,
因此,OM=ON
连接点O与点M,N所在边夹的那个角的顶点A（底角顶点）,令底面三角形顶角为B,
则可以证明：三角形OAN与三角形OAM全等（有等边且共边的直角三角形）
则可以计算：
AN=AM=12/2=6(等腰三角形垂线就是中线,N为底边中点）
BN=根号（AB平方－AN平方）＝根号（10^2-6^)=8
BM=AB-AM=10-6=4
设ON=OM=X,
则对于直角三角形BOM,BO平方＝OM平方＋BM平方
因此,（8-x)^2=x^2+4^2
解出x=3
即三棱锥高为3