已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1，若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．

题目

已知函数f（x）=x³+3ax²+3x+1，若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．

答案

x∈[2，∞），f（x）≥0，即x3+3ax2+3x+1≥0，即x+3x+1x2≥-3a．令g（x）=x+3x+1x2，则g'（x）=1-3x2-2x3=x3−3x−2x3，下面我们证g'（x）≥0在x∈[2，∞）恒成立，也即x3-3x-2≥0在x∈[2，∞）上恒成立．令h（x）=x...

分离参数得x+

3

x

+

1

x2

≥-3a．令g（x）=x+

3

x

+

1

x2

，则问题转化为g（x）_min≥-3a．利用导数可求得g（x）_min．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：该题考查利用导数研究函数的最值，考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．