斜率为1的直线l与椭圆x24+y2=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为（　　） A.2 B.455 C.4105 D.8105

题目

斜率为1的直线l与椭圆

x2

4

+y²=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为（　　）
A. 2
B.

4 5

5

C.

4 10

5

D.

8 10

5

答案

设直线l的方程为y=x+t，代入

x2

4

+y²=1，消去y得

5

4

x²+2tx+t²-1=0，
由题意得△=（2t）²-5（t²-1）＞0，即t²＜5．
弦长|AB|=4

2

×

5-t2

5

≤

4 10

5

．
故选C

设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，根据判别式大于0求得t的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t的范围求得|AB|的最大值．

本题考点：椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口．