关于级数敛散性的证明 证明级数 （(-1)^n ）/（（根号n）+(-1)^n）是发散的

题目

关于级数敛散性的证明 证明级数 （(-1)^n ）/（（根号n）+(-1)^n）是发散的

答案

首先, 由Leibniz判别法, 可知级数∑(-1)^n/√n收敛.
两级数相减得∑(-1)^n·(1/√n-1/(√n+(-1)^n)) = ∑1/(√n(√n+(-1)^n)).
这是一个正项级数, 通项与1/n是等价无穷小, 由比较判别法知级数发散.
于是∑(-1)^n/(√n+(-1)^n))作为一个收敛级数与一个发散级数之差是发散的.