过点P（2,1）的直线L与椭圆X2/2+Y2=1相交,求L被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程.

题目

过点P（2,1）的直线L与椭圆X2/2+Y2=1相交,求L被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程.

答案

设直线L的方程为y=kx-2k+1,其与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),设AB的中点坐标为(X,Y),则X=(x1+x2)/2,Y=(y1+y2)/2,把直线L方程代入椭圆方程并整理得(k^2+1/2)x^2-(4k^2-2k)x+4k^2-4k=0,由韦达定理知x1+x2=(4k^2-2k)/(k^2+1/2),则y1+y2=k(x1+x2)-4k+2=(4k^3-2k^2)/(k^2+1/2)-4k+2=-(2k-1)/(k^2+1/2),于是X=(x1+x2)/2=(4k^2-2k)/(2k^2+1),Y=(y1+y2)/2=-(2k-1)/(2k^2+1),则X/Y=-2k,又Y=kX-2k+1,所以X^2-2X+2Y^2-2Y=0,即(X-1)^2/(3/2)+(Y-1/2)^2/(3/4)=1,这就是所求的轨迹方程,其为一个椭圆,长轴在Y=1/2上,知轴在x=1上.