如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，E、F分别为CA、CB上一点，CE=CF，M、N分别为AF、BE的中点．求证：AE=2MN．

题目

如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，E、F分别为CA、CB上一点，CE=CF，M、N分别为AF、BE的中点．求证：AE=

2

MN．

答案

证明：如图，取AB的中点G，连接MG、NG，
∵M、N分别为AF、BE的中点，
∴NG=

1

2

AE，NG∥AE，MG=

1

2

BF，MG∥BF，
∵CE=CF，∠C=90°，
∴AE=BF，∠MGN=∠C=90°，
∴MG=NG，
∴△MNG是等腰直角三角形，
∴NG=

2

2

MN，
∴AE=2NG=NG=

2

2

×2MN=

2

MN，
即AE=

2

MN．

取AB的中点G，连接MG、NG，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得NG=12AE，NG∥AE，MG=12BF，MG∥BF，再求出AE=BF，∠MGN=90°，判断出△MNG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得NG=22MN，再表示出AE即可得证．

本题考点：三角形中位线定理；等腰直角三角形．

考点点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰直角三角形的判定与性质，熟记定理并作辅助线构造成等腰直角三角形是解题的关键．