如图,正方体A1B1C1D1-ABCD中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交 (1)求异面直线EF与B1C所成的角; (2)求证:EF⊥面B1AC; (3)求证:EF∥面BB1D1D.
题目
如图,正方体A
1B
1C
1D
1-ABCD中,EF与异面直线AC,A
1D都垂直相交
(1)求异面直线EF与B
1C所成的角;
(2)求证:EF⊥面B
1AC;
(3)求证:EF∥面BB
1D
1D.
答案
(1)正方体A
1B
1C
1D
1-ABCD中,A
1D∥B
1C,
而EF与异面直线AC,A
1D都垂直相交,
∴EF⊥B
1C,故直线EF与B
1C所成的角为90°.
(2)∵
,∴EF⊥面B
1AC.
(3)正方形ABCD中,AC⊥BD,而BD是BD
1在面ABCD内的射影,
由三垂线定理可得BD
1⊥AC,同理可证BD
1⊥B
1A,
而B
1A和AC 是面AB
1C内的两条相交直线,∴BD
1⊥面B
1AC.
又EF⊥面B
1AC,∴BD
1∥EF,BD
1⊂面BDD
1B
1,∴EF∥面BDD
1B
1.
(1)由A1D∥B1C,而EF与异面直线AC,A1D都垂直相交,可得EF⊥B1C.
(2)根据EF⊥B1C,EF⊥AC,可得EF⊥面B1AC.
(3)先利用线面垂直的判定定理证明 BD1⊥面B1AC,而EF⊥面B1AC,故BD1∥EF,再根据BD1⊂面BDD1B1,得 EF∥面BDD1B1.
异面直线及其所成的角;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
本题考查异面直线所成的角的定义和求法,证明线面平行、线面垂直的方法,证明BD1⊥面B1AC,是解题的难点.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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