已知二次函数f(x)=ax^2+bx(a≠0),且f(x+1)为偶函数,定义:满足f(x)=x的实数x成为函数f（x）的“不动点”,若函数f（x）有且仅有一个不动点.

题目

已知二次函数f(x)=ax^2+bx(a≠0),且f(x+1)为偶函数,定义:满足f(x)=x的实数x成为函数f（x）的“不动点”,若函数f（x）有且仅有一个不动点.
（1）求f（x）的解析式.
（2）若函数g（x）=f（x）+kx^2在（0,4）上是单调增函数,求实数k的取值范围.

答案

f(x+1)对称轴x=0
所以f(x)是x=1
-b/2a=1
b=-2a
f(x)-x=0只有一个解
ax^2-2ax-x=0
所以(2a+1)^2-0=0
a=-1/2
f(x)=-x^2/2+x
g(x)=(k-1/2)x^2+x
对称轴x=-1/(2k-1)
若k<1/2,开口向下,所以-1/(2k-1)>4,2k-1<-1/4,k<3/8
k=1/2,成立
k>1/2,-1/(2k-1)<0,成立
所以k<3/8,k≥1/2