如图,AB是圆O的弦,CD是经过圆O上的一点M的切线.求证:(1)AB//CD时,AM=MB;(2)AM=MB时AB//CD

题目

如图,AB是圆O的弦,CD是经过圆O上的一点M的切线.求证:(1)AB//CD时,AM=MB;(2)AM=MB时AB//CD

答案

（1）证明：
连接MO交圆O于N,则MN为直径
∵CD是切线,M是切点
∴MN⊥CD
∵AB//CD
∴MN⊥AB
∵MN为直径
∴MN垂直平分AB【垂径定理】
∴AM=MB【垂直平分线上的点到线段两端的距离相等】
（2）证明：
取AB的中点N,连接MN
∵AM=MB
∴MN垂直平分AB【等腰三角形三线合一】
∴圆心O在MN上【弦的垂直平分线经过圆心】
∵CD 是切线
∴MN⊥CD
∵MN⊥AB
∴AB//CD