正方形ABCD,M是BC的中点,连接AM,MN垂直于AM,将BC延长至点E.MN交角DCE的平分线于点N,连接点C与点N.

题目

正方形ABCD,M是BC的中点,连接AM,MN垂直于AM,将BC延长至点E.MN交角DCE的平分线于点N,连接点C与点N.
1.试证明：AM=MN.
2.若将条件MN垂直于AM改为AM等于NM,是否有结论MN垂直于AM?
3.若M为BC上任意一点,以上结论是否仍然成立?
正方形ABCD,M是BC的中点，连接AM，MN垂直于AM，将BC延长至点E。MN交角DCE的平分线CN于点N.1.试证明：AM=MN。
2.若将条件MN垂直于AM改为AM等于NM，是否有结论MN垂直于AM?
3.若M为BC上任意一点，以上结论是否仍然成立？

答案

1.证明：∵∠AMB+∠CMN=∠AMB+∠MAB=90,
      ∴∠CMN=∠MAB // ∠B=∠MCD=90 ∴ △ABM ≌△MCF,
      ∵AB=2MC,  ∴ AM=2MF BM=CM=2FC
      ∵CN 是直角的角平分线,所以 GN=GC
        △NGF ≌△MCF//CM=2FC  ==>> GN=2GF=GC=GF+FC ∴ GF=FC
      ∴MF=FN // AM=2MF===>> MN=MF+FN=2MF=AM, 即：AM=MN (附图）
2.若将条件MN垂直于AM改为AM等于NM,可以有结论MN垂直于AM（反推理）.
3.若M为BC上任意一点,以上结论不成立.