a,b都大于零,a+b=1求 ab +(ab)^-1的最小值

题目

a,b都大于零,a+b=1求 ab +(ab)^-1的最小值

答案

根据a+b=1,设a=(sinx)^2,b=(cosx)^2,x取[0,π/2]
ab+(ab)^1=(sinx)^2 *(cosx)^2 +1/[(sinx)^2 *(cosx)^2]
=(sin2x)^2 /4 + 4/(sin2x)^2
令(sin2x)^2=t,t取[0,1]
原式=t/4 + 4/t
=(t^2+16)/4t
求导可得
1/4-4/t^2
由于t取[0,1]
所以导数小于0,所以在定义域内函数为单调递减,所以当t=1时原式有最小值17/4