AE为三角形ABC中线,DE平分∠BDA交AB于E,DF平分∠ADC交AC于F,求证：BE+CF>EF

题目

AE为三角形ABC中线,DE平分∠BDA交AB于E,DF平分∠ADC交AC于F,求证：BE+CF>EF

答案

题目：AD(此处为D)为三角形ABC中线,DE平分∠BDA交AB于E,DF平分∠ADC交AC于F,求证：BE+CF>EF
证明：过C作CM‖AB,交ED延长线于M点,连FM
所以∠B=∠DCM,∠BED=∠CMD,
又AE为三角形ABC中线,
所以BD=CD,
所以△BDE≌△CDM
所以BE=CM,ED=MD
因为DE平分∠BDA交AB于E,
所以∠ADE=∠ADB/2,
因为DF平分∠ADC交AC于F,
所以∠ADF=∠ADC/2,
所以∠ADE+∠ADF=∠ADB/2+∠ADC/2=(∠ADB+∠ADC)/2,
因为∠ADB+∠ADC=180,
所以∠ADE+∠ADF=90°,
所以FD垂直平分EM,
所以EF=FM,
在三角形CFM中,CM+FC>FM,
即BE+CF>EF