已知关于x的方程x2−(k+1)x+1/4k2+1=0的两根是一个矩形两边的长. (1)k取何值时,方程存在两个正实数根? (2)当矩形的对角线长是5时,求k的值.
题目
已知关于x的方程
x2−(k+1)x+k2+1=0的两根是一个矩形两边的长.
(1)k取何值时,方程存在两个正实数根?
(2)当矩形的对角线长是
时,求k的值.
答案
(1)设方程的两根为x
1,x
2则△=(k+1)
2-4(
k
2+1)=2k-3,
∵方程有两个实数根,∴△≥0,即2k-3≥0,①
k+1>0,②
k2>0 ③
∴综上可知k≥
∴当k≥
,方程有两个正实数根.
(2)由题意得:
,
又∵x
12+x
22=5,即(x
1+x
2)
2-2x
1x
2=5,
(k+1)
2-2(
k
2+1)=5,
整理得k
2+4k-12=0,
解得k=2或k=-6(舍去),
∴k的值为2.
(1)根据一元二次方程根的判别式,方程有两个正实数根,则判别式△≥0,且两根的和与积都是正数,得出关于k的不等式组,求出k的取值范围.
(2)根据勾股定理得到的两根的平方和与根与系数的关系得出关于k的方程,求出k的值并检验.
一元二次方程的根的分布与系数的关系.
解决本题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系和勾股定理,把问题转化为解方程求得k的值,本题解题的关键是根与系数的关系的应用.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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