已知平面内三点A（3,0）,B（0,3）,C（cosα,sinα）,O为坐标原点．

题目

已知平面内三点A（3,0）,B（0,3）,C（cosα,sinα）,O为坐标原点．
（1）若向量AC·向量BC=-1/2.求sin2α的值；
（2）若|1/3向量AC-向量OC|=1,且α∈（0,π）,求向量OB与向量OC的夹角.
为什么我算的是cosα=根号3/2 sinα=正负1/2

答案

1、
向量AC=（cosα-3,sinα）,向量BC=（cosα,sinα-3）
所以,向量AC·向量BC=cosα(cosα-3)+sinα(sinα-3)
=cos²α+sin²α-3(sinα+cosα)
=1-3(sinα+cosα)
=-1/2
所以,sinα+cosα=1/2
平方得：sin²α+cos²α+2sinαcosα=1/4
即：1+sin2α=1/4
得：sin2α=-3/4
2、
向量AC=（cosα-3,sinα）,向量OC=（cosα,sinα）,
所以,1/3向量AC-向量OC=（-2cosα/3-1,-2sinα/3）
所以,|1/3向量AC-向量OC|²=(-2cosα/3-1)²+(-2sinα/3)²
=4cos²α/9+4cosα/3+1+4sin²α/9
=4/9+4cosα/3+1
=1
得：cosα=-1/3
因为α∈（0,π）,则由平方关系可得：sinα=2√2/3
向量OB=(0,3),向量OC=（-1/3,2√2/3）,
设两者夹角为θ
则cosθ=OB*OC/|OB||OC|
=2√2/3
所以,夹角为arccos2√2/3