设x^2-mx+3=0的两实根为α,β,那么以α^3和β^3为根的一元二次方程是（ ）

题目

设x^2-mx+3=0的两实根为α,β,那么以α^3和β^3为根的一元二次方程是（ ）

答案

已知：α、β是x²-mx+3=0的两实根,
由韦达定理,有：
α+β=m……………(1)
α·β=3………………(2)
由(2),有：α³·β³=3³
即：α³·β³=27
由(1),有：
(α+β)²=m²
α²+2αβ+β²=m²
α²+β²=m²-2αβ
α²+β²=m²-2m
另：
α³+β³=(α+β)(α²-αβ+β²)
=(α+β)(α²+β²-αβ)
=3×(m²-2m-3)
=3m²-6m-9
=3(m-3)(m+1)
同样由韦达定理,可知,以α³、β³为根的一元二次方程是：
x²-(3m²-6m-9)x+27=0
或者是：x²-3(m-3)(m+1)x+27=0