已知向量abc都是非零向量,其中任意2个向量都不平行,已知(a+b)与c平行,(a+c)与b平行,求证(b+c)与a平行

题目

已知向量abc都是非零向量,其中任意2个向量都不平行,已知(a+b)与c平行,(a+c)与b平行,求证(b+c)与a平行
其中a b c都是向量

答案

(a+b)与c平行,因此可以设(a+b)=k1c
(a+c)与b平行,因此可以设(a+c)=k2b
两式相减有(b-c)=k1c-k2b
即(k1+1)c=(k2+1)b
由于c和b不平行且都不为0,因此有
k1=k2=-1
所以
(a+b)=-c
(a+c)=-b
把两式加起来有
(2a+b+c)=-(b+c)
即a=-(b+c)
因此(b+c)与a平行