a.b.c是三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的对边,方程2ax^2+2bx+c=0有两个实数根

题目

a.b.c是三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的对边,方程2ax^2+2bx+c=0有两个实数根
如果三角形中a=c,方程有两个不相等的实数根X1,X2,且|X1-X2|=1,求∠B的度数?

答案

∵x1,x2是方程2ax^2+2bx+c=0的两实数根,有韦达定理知：
x1+x2=-2b/(2a)=-b/a,x1*x2=c/2a=1/2(∵a=c) (1)
又由|X1-X2|=1知：
（X1-X2）^2=1即x1^2-2x1*x2+x2^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=1 (2)
将（1）代入（2）得：
(-b/a)^2-4*1/2=1即b/a=根3（∵a,b是边,∴负的舍去）
∴b=根3*a,
∴三角形ABC的三边是：a,根3a,a,
（一法）由余弦定理得
cosB=[a^2+a^2-（根3a）^2]/2*a*a=-1/2
所以B=120°.
（二法）过B点作BD⊥AC于D,由等腰三角形三线合一知:
DC=1/2*AC=(根3/2)a,且∠DBC=(1/2)∠ABC,
在直角三角形DBC中,sin∠DBC=DC/BC=(根3/2)a/a=根3/2
∴∠DBC=60°,∴∠ABC=120°.