求(a^x-a^sinx)/（x^2＊sinx） 当x趋近0的极限

题目

求(a^x-a^sinx)/（x^2＊sinx） 当x趋近0的极限
分母打错了！平方应该是sinx的 而不是x^2

答案

答案是1/6*ln(a),用泰勒级数可解.
a^x=e^(ln(a)*x)=ln(a)*x+1/2*(ln(a)*x)^2+1/6*(ln(a)*x)^3+o(x^3)
a^sin(x)=e^(ln(a)*sin(x))=ln(a)*sin(x)+1/2*(ln(a)*sin(x))^2+1/6*(ln(a)*sin(x))^3+o(x^3)
（代入sin(x)=x-1/6*x^3+o(x^3),略去三次以上项）
=ln(a)*x-1/6*ln(a)*x^3+1/2*ln(a)^2*x^2+1/6*ln(a)^3*x^3+o(x^3)
因此相减,得a^x-a^sin(x)=1/6*ln(a)*x^3+o(x^3),
分母=x^3+o(x^3),
因此答案=1/6*ln(a).