关于椭圆的方程.急.
题目
关于椭圆的方程.急.
已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的短半轴长为√3.点F1.F2分别是椭圆C的左
右焦点,以原点为圆心,椭圆C的长轴为半径的圆与椭圆的准线相切。
⑴求椭圆C的方程
⑵若过点F2的直线L与椭圆C相交于点M,N两点,求使△F1MN面积最大时直线L的方程
答案
已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的短半轴长为√3.点F1.F2分别是椭圆C的左右焦点,以原点为圆心,椭圆C的长轴为半径的圆与椭圆的准线相切.
⑴求椭圆C的方程
⑵若过点F2的直线L与椭圆C相交于点M,N两点,求使△F1MN面积最大时直线L的方程
(1).右准线x=a²/c;依题意,a²/c=2a,即有2ac-a²=a(2c-a)=0,故得a=2c;
又已知b=√3,b²=3,a²-b²=a²-3=4c²-3=c²,即3c²=3,故得c²=1,于是a²=b²+c²=3+c²=3+1=4;
故椭圆方程为x²/4+y²/3=1.椭圆的离心率e=c/a=1/2;右焦点F₂(1,0);
(2).设直线L的方程为y=k(x-1),
△F₁MN的面积S=(1/2)∣MF₂∣∣NF₂∣sin∠MF₁N
显然,当MN⊥x轴时面积S最大,此时k=+∞,L的方程为x=1.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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