若函数f(x)=（1-x^2）(x^2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,求f(x)的最大值

题目

若函数f(x)=（1-x^2）(x^2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,求f(x)的最大值

答案

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(x)=(1-x^2)(x^2+ax+b) 得:f(1)=0,f(-1)=0,
图像关于x=-2对称,从而可知:f(-5)=0,f(-3)=0,
即有:x²+ax+b=(x+5)(x+3)
所以：
f(x)=(1-x)(1+x)(x+3)(x+5)
=[3-(x+2)][3+(x+2)][(x+2)-1][(x+2)+1]
=[9-(x+2)²][(x+2)²-1]
=16-[(x+2)²-5]² ≤16
所以最大值是16.