设抛物线的顶点为O,经过焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点B,C,经过抛物线上一点P垂直于轴的直线和轴交于点Q,求证:|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项.
题目
设抛物线的顶点为O,经过焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点B,C,经过抛物线上一点P垂直于轴的直线和轴交于点Q,求证:|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项.
答案
证明:设抛物线为y
2=2px(p>0).则焦点F(
,0),
依题意,B,C的坐标可由
得:y
2=p
2,y=p或-p,
∴B(
,p),C(
,-p),|BC|=p-(-p)=2p;
设P(2pt
2,2pt),则Q(2pt
2,0),
∴|PQ|=|2pt|,|OQ|=2pt
2|BC|×|OQ|=2p×2pt
2=4p
2t
2=(2pt)
2=|PQ|
2,
∴|PQ|是|BC|和|OQ|的等比中项.
设设抛物线为y2=2px(p>0),可求得|BC|=2p,设P(2pt2,2pt),则Q(2pt2,0),可求得|PQ|与|OQ|,从而可证得|BC|×|OQ|=|PQ|2.
抛物线的简单性质;等比关系的确定.
本题考查抛物线的简单性质,考查等比关系的确定,求得|BC|、|PQ|、|OQ|的值是关键,考查分析与推理证明的能力,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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