已知向量a=（sinx,-1）向量b=（根号3cosx,-1/2）,函数f（x）=（向量a+向量b）*向量a-2

题目

已知向量a=（sinx,-1）向量b=（根号3cosx,-1/2）,函数f（x）=（向量a+向量b）*向量a-2
已知a,b,c分别为三角形ABC内角A,B,C的对边,其中A为锐角,a=2根号3,c=4,且f（A）=1,求A,b和三角形ABC的面积S.

答案

向量a=(sinx,-1),向量b=((√3)cosx,-1/2),函数f(x)=（a+b)•a-2；
已知a,b,c分别为三角形ABC内角A,B,C的对边,其中A为锐角,a=2√3,c=4,且f(A)=1,
求A,b和三角形ABC的面积S.
a+b=(sinx+(√3)cosx,-1-1/2)=(sinx+(√3)cosx,-3/2)；
故f(x)=(a+b)•a-2=[sinx+(√3)cosx]sinx+3/2-2=sin²x+(√3)sinxcosx-1/2
=(1-cos2x)/2+(√3/2)sin2x-1/2=(√3/2)sin2x-(1/2)cos2x=sin2xcos(π/6)-cos2xsin(π/6)
=sin(2x-π/6)
由于f(A)=sin(2A-π/6)=1,故2A-π/6=π/2,2A= π/2+π/6=2π/3,∴A=π/3.
由余弦定理有a²=b²+c²-2bccosA,代入已知值得12=b²+16-4b,即有b²-4b+4=(b-2)²=0,故b=2；
SΔABC=(1/2)bcsinA=(1/2)×2×4×sin(π/3)=2√3.