设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acos A，则sin A：sin B：sin C为_．

题目

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acos A，则sin A：sin B：sin C为______．

答案

由于a，b，c 三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，可设三边长分别为 a、a-1、a-2．
由余弦定理可得 cosA=

b2+c2−a2

2bc

=

(a−1)2+(a−2)2−a2

2(a−1)(a−2)

=

a−5

2(a−2)

．
再由3b=20acos A，可得cosA=

3b

20a

=

3a−3

20a

，故有

a−5

2(a−2)

=

3a−3

20a

，
解得 a=6，故三边分别为6，5，4．
由正弦定理可得 sinA：sinB：sinC=a：b：c=a：（a-1）：（ a-2）=6：5：4，
故答案为  6：5：4．