sinx的三次方分之一的不定积分怎么做?

题目

sinx的三次方分之一的不定积分怎么做?

答案

∫1/sin³x dx
=∫csc³x dx
=∫cscx*csc²x dx
=∫cscx d(-cotx)
=-cscx*cotx + ∫cotx d(cscx),分部积分法
=-cscx*cotx + ∫cotx*(-cscxcotx) dx
=-cscx*cotx - ∫cscx*cot²x dx
=-cscx*cotx - ∫cscx*(csc²x-1) dx,恒等式csc²x=1+cot²x
=-cscx*cotx - ∫csc³x dx + ∫cscx dx,将-∫csc³x dx移项
∵2∫csc³x dx = -cscx*cotx + ∫cscx dx,注意∫cscx dx = ln|cscx - cotx| + C
∴∫csc³x dx = (-1/2)cscx*cotx + (1/2)ln|cscx - cotx| + C