用数学归纳法证明2²;+4²;+6²;+……+（2n)²=1/4n(n+1)(2n+1)

题目

用数学归纳法证明2²;+4²;+6²;+……+（2n)²=1/4n(n+1)(2n+1)

答案

正确的结论是：2²＋4²＋6²＋……＋﹙2n﹚²=﹙2／3﹚n﹙n＋1﹚﹙2n＋1）
证明：
1、当n=1时,2^2=2/3*1*2*3,符合题述公式
2、下面证明,当f(n)=2^2+4^2+6^2+...+[2n]^2=2/3*n(n+1)(2n+1)时
f(n+1)=2^2+4^2+6^2+...+[2n]^2+[2(n+1)]^2=2/3*(n+1)(n+2)(2n+3)
f(n+1)=f(n)+[2(n+1)]^2
=2/3*n(n+1)(2n+1)+[2(n+1)]^2
=[2n(n+1)(2n+1)+12(n+1)(n+1)]/3
=[4n^2+2n+12n+12](n+1)/3
=[4n^2+14n+12](n+1)/3
=2[2n^2+7n+6](n+1)/3
=2(2n+3)(n+2)(n+1)/3
=2/3*(n+1)(n+2)(2n+3)
综上所述,当f(n)=2^2+4^2+6^2+...+[2n]^2=2/3*n(n+1)(2n+1)时
f(n+1)=2^2+4^2+6^2+...+[2n]^2+[2(n+1)]^2=2/3*(n+1)(n+2)(2n+3)
又因为当n=1时,2^2=2/3*1*2*3,符合题述公式
所以题述公式成立