一只船在水中航行时所受阻力与其速度成正比.现此船由静止开始沿直线航行,若保持牵引力恒定,经过时间t1后,速度为v,加速度为a1,最终以速度2v匀速运动;若保持牵引力的功率恒定,
题目
一只船在水中航行时所受阻力与其速度成正比.现此船由静止开始沿直线航行,若保持牵引力恒定,经过时间t1后,速度为v,加速度为a1,最终以速度2v匀速运动;若保持牵引力的功率恒定,经过时间t2后,速度为v,加速度为a2,最终也以2v的速度匀速运动,则有( )
A. t1=t2
B. a2=2a1
C. t1<t2
D. a2=3a1
答案
1、先讨论B和D选项的加速大小:
以恒定的牵引力启动经过时间t
1时满足方程:
F-kv=ma
1----①
以2v的速度作匀速运动时满足方程:
F-k2v=0----②
由①②两式可得
kv=ma
1----③
船以恒定的功率启动经过时间t
2时,设牵引力为F′,则
F′-kv=ma
2----④
设恒定功率为P,则
P=F′v----⑤
由于功率一定,两次最终也以2v的速度作匀速运动,匀速运动时满足方程:
P=F2v----⑥
由⑤⑥两式得:
F′=2F代入④得
2F-kv=ma
2----⑦
将②代入上式得
3kv=ma
2----⑧
由③⑧两式相比可得:
a
2=3a
1 故B错误D正确.
2、再讨论A和C选项的时间大小:
关于时间的比较用v-t图象加以分析比较方便.画出两船的v-t图象,图线的斜率等于其加速度,注意利用速度均为v时,a
2=3a
1;速度为2v时,均匀速运动,故得图线如图所示,图中甲表示以恒定牵引力启动,乙表示以恒定功率启动.
由图可知,开始阶段,乙的加速度是甲的3倍,乙的速度增加比甲快,乙的位移大于甲,速度达到v时,从图中很直观看出t
1>t
2,故AC错误.
综上所述,本题的正确答案应是D.
故选:D.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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