概率与数理统计,两个随机变量判断独立与不相关的问题,

题目

概率与数理统计,两个随机变量判断独立与不相关的问题,
（1）X~U（0,1）,Y=X2（X2表示X的平方）,我们可以求出E（X）=1/2,E（Y）=1/3,E(XY)=1/4,cov(X,Y)=E(X,Y)-E(X)E(Y)不等于0,这只能说明XY是相关的,怎么能说明是独不独立的呢?
同理（2）X~U(-1,1),Y=X2(X的平方),我们可以求出E(X)=0,E(Y)=1/3,E(XY)=0,Cov(X,Y)=0,只能说明是不相关的怎么说明是不独立的呢?

答案

不相关的话不一定独立,但独立的话一定不相关
第一个情况你算的cov(x,y)不等于0因此不相关,所以一定 不独立
第二个情况cov(x,y)=0,但不能对独立性下结论.但联合分布函数又未知,所以从定义下手.
如果f(x,y)能拆成俩独立函数就独立.f(x,y)=P(X=x,Y=y)=P(X=x,X^2=y)=P(X=x,X=(+or-)y^0.5),
等于：
f(x),如果x=y^0.5 or -y^0.5,注意是小x和小y别搞混
0 otherwise
明显这无法拆成X和Y的独立函数,f(x,y)必然包含一个指示函数 I{x^2=y}无法拆.
即f(x,y)= I{x^2=y}f(x)
或者直接观察Y是X平方因此Y取决于X,换句话说f(Y|X)取决于X,肯定不等于f(Y)因此不独立.