求不等式（a2-3a+2）x2+（a-1）x+2＞0的解是一切实数的充要条件．

题目

求不等式（a²-3a+2）x²+（a-1）x+2＞0的解是一切实数的充要条件．

答案

（1）当a²-3a+2=0⇒a=1或a=2．
当a=1时，原不等式为2＞0恒成立，∴a=1适合；
当a=2时，原不等式为x+2＞0，即x＞-2，它的解不是一切实数，∴a=2不适合．
（2）当a²-3a+2≠0时，

a2−3a+2＞0 △＝(a−1)2−8(a2−3a+2)＜0

⇒

a＜1或a＞2 a＞ 15 7 或a＜1

⇒a＜1或a＞

15

7

∴所求的充要条件是a≤1或a＞

15

7

．

采用分类讨论思想，分析不等式恒成立的条件，求解．

本题考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．

考点点评：本题借助考查充要条件的判断，考查一元二次不等式的解集问题．借助一元二次函数图象分析一元二次不等式的恒成立问题．
本题的易错点在忽视二次项系数为零时的情况．