定义在R上的函数对于任意的x,y属于R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),f(0)≠o,求证:f(0)=1

题目

定义在R上的函数对于任意的x,y属于R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),f(0)≠o,求证:f(0)=1
定义在R上的函数对于任意的x,y属于R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),f(0)≠o,1,求证:f(0)=1
2,求证f(x)为偶函数

答案

1.取x=y=0,即得
f(0+0)+f(0-0)=2f(0)f(0)
即2f(0)=2f(0)f(0),
所以f(0)=0或1,又因为题目中说f(0)≠0,所以f(0)=1
2.取x=0有
f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)
由1有,f(0)=1,所以 f(y)+f(-y) = 2f(y)
即 f(-y) = f(y)
所以f是偶函数.