【导数】已知函数f(x)=ln(1+x^2)-1/2x^2+m,讨论f(x)零点个数

题目

【导数】已知函数f(x)=ln(1+x^2)-1/2x^2+m,讨论f(x)零点个数

答案

f(x)的定义域为R
f'(x)=2x/(1+x^2)-x=x(1-x^2)/(1+x^2)
由f'(x)=0,得极值点x=-1,0,1,因此最多4个零点.
f(-1)=ln2-1/2+m为极大值
f(0)=m 为极小值
f(1)=ln2-1/2+m 为极大值
而f(-∞ )=-∞ ,f(+∞ )=-∞
讨论m:
1)若m>0,则f(-1)=f(1)>0,f(0)>0,有2个零点,分别位于x1
2)若m=0,则有3个零点,分别位于x1,及x=0
3)若1/2-ln2