有理数的巧算,

题目

有理数的巧算,
1.计算：1/2+1/4+1/8+...+1/1024
提示：1/4=1/2*1/2,1/8=1/2*1/4...因此,本题运用错位相减法教简便
2.计算：1/2+(1/3+2/3)+(1/4+2/4+3/4)+(1/5+2/5+3/5+4/5)+...+(1/60+2/60+3/60+...+59/60)

答案

1/2+1/4+1/8+...+1/1024
再加上一个1/1024,然后减去一个1024,得：
原式=(1/2+1/4+1/8+...+1/1024 +1/1024)-1/1024
因为：1/2^n+1/2^n=2*1/2^n=1/2^(n-1)
【注：2^n意为2的n次方】
所以原式=1/2+1/4+1/8+...+1/512+1/512-1/1024
=1/2+1/4+1/8+...+1/256+1/256-1/1024
=...
=1-1/1024
=1023/1024
观察括号内的东西：可以得知：
括号内的通项为：
1/(n+1)+2/(n+1)+...+n/(n+1)
=(1+2+3+...+n)/(n+1)
由等差数列求和公式：1+2+..+n=n(n+1)/2,代回得：
=[n(n+1)/2]/(n+1)
=n/2
所以：
1/2+(1/3+2/3)+(1/4+2/4+3/4)+(1/5+2/5+3/5+4/5)+...+(1/60+2/60+3/60+...+59/60)
=1/2+2/2+3/2+...+59/2 【一共59项】
=(1+2+...+59)/2
=885
希望我的回答让你满意