已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),直线y=x-1过椭圆右焦点交椭圆于A,B两点,以AB为直径的圆过椭圆的左焦点

题目

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),直线y=x-1过椭圆右焦点交椭圆于A,B两点,以AB为直径的圆过椭圆的左焦点
求椭圆的标准方程

答案

利用椭圆第二定义
A(x1,y1),B(x2,y2)
AF2=a-ex1.BF2=a-ex2
所以AB=2a-e(x1+x2) = 4c①
因为AF1⊥BF1
AB²=AF1²+BF1²=(2a-AF2)²+(2a-BF2)=4c②
①②即可解出