自极点O作射线与直线ρcosθ=4相交于点M，在OM上取一点P，使得OM•OP＝12，求点P的轨迹的极坐标方程．

题目

自极点O作射线与直线ρcosθ=4相交于点M，在OM上取一点P，使得

OM

•

OP

＝12，求点P的轨迹的极坐标方程．

答案

以极点为坐标原点建立直角坐标系，
将直线方程ρcosθ=4化为x=4，（4分）
设P（x，y），M（4，y₀），

OM

•

OP

=（x，y）•（4，y₀）=12，4x+yy₀=12，
又MPO三点共线，xy₀=4y，x²+y²-3x=0
转化为极坐标方程ρ=3cosθ．

以极点为坐标原点建立直角坐标系，先将直线方程ρcosθ=4化为x=4，设P（x，y），欲求这条曲线的方程，只须求出x，y之间的关系即可，利用向量条件，将此条件用坐标代入化简即得曲线的方程．最后再转化为极坐标方程即可．

本题考点：轨迹方程；简单曲线的极坐标方程．

考点点评：本小题主要考查直接法求轨迹方程、简单曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．