如图①,已知直线y=x+b与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A,抛物线y=ax2+2ax+c过点C、A,且与x轴交于另一点B. (1)求直线与抛物线的函数关系式及点B的坐标;(2)若点P为抛物线上
题目
如图①,已知直线y=x+b与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A,抛物线y=ax
2+2ax+c过点C、A,且与x轴交于另一点B.
(1)求直线与抛物线的函数关系式及点B的坐标;
(2)若点P为抛物线上一动点,且点P位于直线AC上方,连结PA,PC,求△APC的面积的最大值;
(3)如图②,将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴的下方,与原抛物线没有变化的部分构成一个新图象,过点B作直线l与新图象交于另外的两点M、N(点M在点N的左侧),是否存在这样的直线l,使得△ABM的面积被AN恰好平分?若存在,请求出直线l的函数关系式;若不存在,请说明理由.
答案
(1)直线y=x+b过点C(0,3),
∴b=3,
故直线的函数关系式为y=x+3,
它与x轴交于点A(-3,0),
抛物线y=ax
2+2ax+c过A,C,
∴c=3,
0=3a+3,
解得a=-1.
∴抛物线的解析式是y=-x
2-2x+3①,
它与x轴交于另一点B(1,0).
(2)设P(p,-p
2-2p+3),-3<p<0,
直线x=p交AC:y=x+3于D(p,p+3),
∴S
△APC=
DP(x
C-x
A)=
(-p
2-3p)=(-
(p+
)
2+
,
∴△APC的面积的最大值是
.
(3)设直线l:y=k(x-1)②,
代入①,x
2+(k+2)x-k-3=0,
解得x=1或-k-3,
∴x
M=-k-3,
将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴的下方,得到抛物线y=x
2+2x-3(-3<x<1)③,
把②代入③得,x
2+(2-k)x+k-3=0,
解得x=1或k-3,
∴x
N=k-3,
△ABM的面积恰好被AN平分,
∴MN=NB,
∴k-3-(-k-3)=1-(k-3),
2k=4-k,
解得k=
.
故直线l的函数关系式是y=
x-
.
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