过抛物线y2=2px有一内接Rt三角形,直角顶点在原点,一直角边方程是y=2x,斜边长5根号3,求抛物线方程
题目
过抛物线y2=2px有一内接Rt三角形,直角顶点在原点,一直角边方程是y=2x,斜边长5根号3,求抛物线方程
答案
为了便于理解,先自己画个图出来,(以原点为顶点,暂定x轴正方向为开口方向的抛物线)设另外两个顶点分别为M、N,M在第一象限,N在第四象限.
然后知道M点是过直线y=2x的(一条直角边)
则M点为抛物线和直线的交点,
可知:Ym²=2pXm
Ym=2Xm
解关于Xm,Ym的二元方程得:M(p/2,p)
又另一条直角边是与直线y=2x垂直的,且过原点,故其方程为:y=-1/2x
则N点为抛物线和直线y=-1/2x的交点
可知:Yn²=2pXn
Yn=-1/2Xn
解关于Xn,Yn的二元方程组得:N(8p,-4p)
由以上可以知道:OM²=p²/4+p²
ON²=64p²+16p²
则根据直角三角形勾股定理有:
OM²+ON²=MN²
得:p²/4+p²+64p²+16p²=75
化简得:81.25p²=75
则p=正负13分之根号156
所以,抛物线的方程为:有两个,自己写了.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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